پايداری سيستم های ديناميکی در فضاهای متريک... - دانلود رایگان
دانلود رایگان قضيه پايداری سيستم های ديناميکی، نقش کليدی در سيستم های ديناميکی بازی ميکند. مفيدترينوکلی ترين روش برای مطالعه پايداری سيستم های ديناميکی، قضيه مطرح شده تو
دانلود رایگان
| پايداری سيستم های ديناميکی در فضاهای متريک...چکيده: قضيه پايداری سيستم های ديناميکی، نقش کليدی در سيستم های ديناميکی بازی ميکند. مفيدترينوکلی ترين روش برای مطالعه پايداری سيستم های ديناميکی، قضيه مطرح شده توسط رياضيدانروسی الکساندر لياپانوف[1] است.نتايج اصلیقضيه پايداری لياپانوف برای سيستم های ديناميکی تعريف شده روی ،مربوط به سيستم های تشکيل شده ازحرکت های پيوسته و ناپيوسته است. بسياری از اين نتايج شرايطکافی برای پايداری سيستم های ديناميکی بيان می کنند. فهرست مطالب: عنوان صفحه مقدمه 3 فصل اول: آشنايی باسيستم های ديناميکی و پايداری 5 فصل دوم: انديشه های پايه 13 فصل سوم: پايداری سيستم های ديناميکی در فضاهای متريک 21 مقدمه: در اين پايان نامه با استفاده از نگاشت های حافظ ماتريس مقدار، يک روش جديد برای تحليل پايداری حرکت های سيستم های ديناميکی تعريف شده روی فضاهای متريک به دست مي آوريم [30]. اين نتايج برای خانواده بسيار بزرگی از سيستم ها، شامل سيستم های ديناميکی که نمی توانند توسط معادلات کلاسيک معمولی و يا نامعادلات مشخص شوند، به کار برده می شود. در روش ارائه شده از يک قاعده کلی همسنجی تعميم يافته همراه با ايده نگاشت های چند مؤلفه ای (نگاشت های لياپانوف ماتريس مقدار)، استفاده شده است[22,23]. ما ابتدا نگاشت های حافظ ماتريس مقدار، برای تحليل پايداری سيستم های ديناميکی معمولی تعريف شده روی فضاهای متريک، معرفی مي کنيم. برای راحت تر شدن کار، از نگاشت های ماتريس مقدار حافظ پايداری استفاده می کنيم[24]. سپس از نتايج به دست آمده برای اثبات قضايای کلی لياپانوف روی سيستم های ديناميکی در فضاهای متريک و تحليل خانواده سيستم های هيبريدی و سيستم های هيبريدی دو مؤلفه ای استفاده می کنيم. پايداری مجموعه های پايا(در حالت خاص نقاط تعادل)، برای يک قرن موضوع تحقيق است و هسته اين کار، روش مستقيم لياپانوف است که قاعده همسنجی برای تحليل پايداری، از اين روش نتيجه شده است.[9,13,17] در ابتدا در روش مستقيم لياپانوف تابع های اسکالر-مقدار کمکی استفاده شده بود که برای اثبات قاعده همسنجی اين روش تعميم يافت[14,17]. در تعميم قاعده همسنجی، برای تحليل پايداری سيستم های ديناميکی، نيز از نگاشت های حافظ پايداری، استفاده شده است[10]. اين نگاشت ها نقش مهمی در تحليل پايداری سيستم های ديناميکی بازی می کنند. در اين پايان نامه در فصل اول، به معرفی سيستم های ديناميکی در حالت کلی می پردازيم. در فصل دوم، ابتدا يک نگاشت همسنجی معرفی می کنيم وسپس به معرفی سيستم های ديناميکی در فضاهای متريک می پردازيم و برخی مفاهيم پايه ای و اساسی سيستم های ديناميکی در فضاهای متريک، بيان می کنيم. در فصل سوم، به تحليل پايداری و سپس پايداری جزئی، سيستم های ديناميکی در فضاهای متريک می پردازيم. فصل اول آشنايي با سيستم هاي ديناميکي و پايداري 1- سيستم هاي ديناميکي مفهوم سيستم ديناميکی فرمول بندی رياضی مفاهيم علمی عمومی به روشی مشخص است. هدف علوم مختلف فيزيک، شيمی، زيست شناسی، بوم شناسی، اقتصاد و حتی علوم اجتماعی، پيشگويی توسط علوم موجود و قوانين حاکم بر تکامل اين علوم است. به شرطی که اين قوانين با گذشت زمان ثابت باشند رفتار چنين سيستم هايی می تواند توسط حالت اوليه سيستم به طور کامل توصيف شود. بنابراين يک سيستم ديناميکی شامل مجموعه ای از حالت های ممکن (فضای حالت) و قانون ريشه- يابی حالت در زمان است.ما ابتدا در مورد اين اجزا بحث می کنيم و سپس تعريفی رسمی از سيستم ديناميکی ارائه می دهيم. فضای حالت: همه حالت های ممکن يک سيستم به صورت نقاطی از مجموعه ای مانند در نظر می گيريم، اين مجموعه فضای حالت سيستم ناميده می شود. در حقيقت تعيين يک نقطه به تنهايی برای توصيف موقعيت فعلی سيستم کافی نيست و قانون ريشه يابی نيز بايد مشخص شود. گاهی اوقات فضای حالت فضای فاز هم ناميده می شود. زمان: ريشه يابی يک سيستم ديناميکی به معنی يافتن تغييرات در حالت سيستم با گذشت زمان است که يک مجموعه مرتب است. دو نوع سيستم ديناميکی در نظر گرفته می شود: 1- سيستم های با زمان پيوسته 2- سيستم های بازمان گسسته . سيستم های نوع اول سيستم ديناميکی زمان پيوسته و سيستم های نوع دوم سيستم های ديناميکی زمان گسسته ناميده می شوند. سيستم های ديناميکی زمان گسسته به طور طبيعی در بوم شناسی و اقتصاد ظاهر می شوند. عملگر ريشه يابی: مؤلفه اصلی يک سيستم ديناميکی قانون ريشه يابی است که حالت سيستم در زمان يعنی را مشخص می کند وقتی که حالت اوليه سيستم يعنی معلوم است. متداولترين روش برای مشخص کردن عملگر ريشه يابی اين است که در نظر بگيريم که برای هر يک نگاشت تک مقداری مانند در فضای حالت تعريف شده باشد يعنی تعريف شده باشد که حالت اوليه را به حالت در زمان انتقال دهد يعنی . نگاشت عملگر ريشه- يابی سيستم ديناميکی ناميده می شود. در سيستم های زمان پيوسته خانواده از عملگر ها، شار ناميده می شود. توجه کنيد که ممکن است نگاشت برای هر جفت تعريف نشده باشد. عملگرهای ريشه يابی دو خصوصيت کلی دارند که باعث می شوند رفتار(حالت) آينده سيستم ديناميکی مشخص شود. (a) که در اينجا نگاشت همانی روی است يعنی برای هر ، . اين خاصيت می گويد رفتار سيستم خودبه خود تغيير نمی کند. (b) دومين خاصيت عملگر ريشه يابی اين است که به ازای هر و به طوری که هر دو طرف نامساوی بالا تعريف شده باشد. اين خاصيت می گويد: حالت نتيجه شده از ريشه يابی سيستم در واحد زمانی با شروع از نقطه مانند اين است که سيستم از حالت اوليه در واحد زمانی تغيير يابد وسپس در واحد زمانی از حالت کامل شود. در بسياری از سيستم ها حالت فعلی سيستم ، نه تنها رفتار آينده سيستم بلکه رفتار گذشته آن را نيز مشخص می کند. به عبارت ديگر عملگر ريشه يابی برای نيز تعريف شده و خاصيت دوم سيستم های ديناميکی زمانی که هر دو منفی باشند نيز برقرار است. چنين سيستم هايی معکوس پذير ناميده می شوند و عملگر معکوس عملگر است( ). بنابراين . يک سيستم ديناميکی زمان گسسته توسط تنها يک نگاشت که نگاشت تک زمان ناميده می شود، مشخص می شود. به وضوح ، که تکرار دوم نگاشت است. به همين ترتيب داريم : برای هر . اگر سيستم زمان گسسته معکوس پذير باشد روابط بالا برای نيز برقرار است و . البته هنگام به کار بردن تکرارها بايد چک کنيم که تکرارها متعلق به دامنه تعريف تابع باشند. در بسياری از سيستم ها تابع پيوسته ای از است که اگر باشد نسبت به زمان نيز پيوسته است. بسياری از سيستم های تعريف شده روی يا روی منيفلدهای هموار در به گونه ای است که به عنوان يک تابع از هموار است، چنين سيستم هايی، سيستم های ديناميکی هموار ناميده می شوند. حال ما قادريم يک تعريف رسمی از سيستم ديناميکی ارائه دهيم. در زير به تعريف يک سيستم ديناميکي به زبان رياضي مي پردازيم. دوتايي،که در آن مجموعه اي غيرتهي و نگاشتي به صورتاست را يک سيستم ديناميکي مي ناميم اگر شرايط زير برقرار باشد: 1)به ازاي داشته باشيم:(همان تابع هماني روي Xاست). 2)براي هر داشته باشيم:(oنشان دهنده ترکيب توابع می باشد). اگر سيستم ديناميکي با تعريف بالا داشته باشيم و، آن را سيستم ديناميکي زمان پيوسته و اگر، آنگاه سيستم ديناميکي زمان گسسته خواهيم داشت. همچنين اگر باشد آن را سيستم ديناميکي گوييم. در سيستم ديناميکي زمان گسسته، نمادوبه ترتيب بار ترکيب توابعواست که می باشد(البتهبايدمعکوس پذير باشد). اربيت ها (مدارها) و پيکره های فاز: پايه اشکال هندسی متناظر با يک سيستم ديناميکی ، اربيت های آن و پيکره فاز تشکيل شده از اربيت ها می باشد. يک اربيت زيرمجموعه ای مرتب از فضای حالتاست و مدار(براي هردلخواه عضو)را بانشان داده و به صورت زير تعريف مي کنيم: اگر سيستم ديناميکي زمان گسسته ای داشته باشيم که نگاشت در آن معکوس پذيرباشد به صورت مي باشد و اگر معکوس پذير نباشد خواهيم داشت: مدار های يک سيستم ديناميکی زمان پيوسته منحنی هايی در فضای حالت می باشند که جهت اين منحنی ها در جهت افزايش زمان است. مدار های يک سيستم ديناميکي زمان گسسته دنباله ای از نقاط در فضای حالتاست که اين نقاط توسط اعدادصحيح افزايشی شماره گذاری می شوند.مدار ها اغلب مسير ناميده می شوند. ساده ترين مدار يک نقطه تعادل است. *نقطه را يک نقطه تعادل(ثابت) سيستم می ناميم هر گاه برای هر ،. بادر نظر گرفتن سيستم بالا، نقطه رانقطه اي تناوبي براي سيستم فوق گوييم، اگرموجود باشد به طوري که:. همچنين کوچکترين با اين خصوصيت، دوره تناوب نقطهمي- ناميم. اگر نقطه اي تناوبي براي سيستم باشد، آنگاه مدار به صورت زير مي باشد: همچنين نگاشت ، راشبه متناوب گوييم اگر اعداد موجود باشند به قسمی که بتوان آن را به صورت زير نوشت: که در آن نگاشتي با دوره تناوب در نقاط مي باشد. اعدادبسامد هاي پايه ناميده مي شود. نقطه ثابترا نقطه اي تکين مي ناميم اگر همسايگي از مانند موجود باشد به طوري که غير از خودشامل هيچ نقطه ثابت ديگري نباشد. يک مجموعه پايا از يک سيستم ديناميکي ، يک زيرمجموعه است به طوري که اگرآنگاه براي هر،. يعني داشته باشيم: براي هر،. به وضوح هر مجموعه پايای شامل نيم اربيت هاي مثبت است. به وضوح هر اربيت تکين يک مجموعه پاياست. * در يک سيستم ديناميکي زمان گسسته اگر ، يک نقطه ثابت باشد(يعنی) و ، ماتريس ژاکوبين در نقطه باشد يعني ، آنگاه گوييم پايدار است اگر همه مقادير ويژه هاي از ماتريس در شرط صدق کنند. * در يک سيستم ديناميکي زمان پيوسته اگر ، يک نقطه ثابت باشد(يعني) و ماتريس ژاکوبين در نقطه باشد يعني ، آنگاه گوييم پايدار است اگر همه مقادير ويژه هاي از ماتريس در شرط صدق کنند. 2- مجموعه هاي حدي و جاذب ها هر سيستم ديناميکي متناظر با يک معادله ديفرانسيل مي باشد. دستگاه زير را در نظر مي گيريم: (، يک فضاي توپولوژيک مي باشد). (1) و دستگاه (1)، يک سيستم ديناميکي مانند رویمشخص مي کند. دستگاهي مانند دستگاه (1)که وابستگي به متغير (زمان) ندارد را يک دستگاه خودگردان(مستقل از زمان) مي ناميم. اگر نگاشت داراي مشتق ام پيوسته باشد مي گوييم نگاشت نگاشتي مي باشد. تعريف 1-2-1 : دستگاه (1) را در نظر مي گيريم. فرض مي کنيم جوابي براي اين معادله ديفرانسيل باشد. اين نوع مجموعه جواب ها براي اين دستگاه را شار براي معادله ديفرانسيل مي ناميم که داراي شرايط زير مي باشد: 1)براي هر: 2)براي هر: 3)براي هر تعريف 2-2-1: دستگاه (1) را در نظر مي گيريم. را شار روي و جوابي براي دستگاه (1) قرار مي دهيم. زيرمجموعه را پايا تحت شار گوييم اگر براي هر داشته باشيم. تعريف3-2-1: را شار روي متناظر با دستگاه (1) در نظر مي گيريم. مجموعه-حد براي نقطه را که با نمايش مي دهيم، شامل نقاطي مانند است به طوري که دنباله اي از اعداد حقيقي مانند موجود باشدکه و . همچنين مجموعه -حد نقطه را با نمايش مي دهيم و عبارت است از مجموعه نقاطي مانند در، به طوري که دنباله اي مانند از اعداد خقيقي که موجود است و داريم:. تعريف4-2-1: نقطه اي مانند در را نقطه غيرسرگردان مي ناميم اگر براي هر همسايگي مانند از ، عدد حقيقي غير صفر وجود داشته باشد به طوري که داشته باشيم: . اگر نقطه اي غير سرگردان نباشد، نقطه اي سرگردان است. تعريف 5-2-1: زيرمجموعه ي پايا و بسته از را يک مجموعه جاذب مي ناميم اگر همسايگي از مانند موجود باشد به طوري که به ازاي هر و داشته باشيم: و همچنين به ازاي ، . تعريف 6-2-1: اگريک فضاي متريک فشرده و يک نگاشت پيوسته باشد نقطه را يک نقطه جاذب مي ناميم اگر همسايگی از موجود باشد به طوري که فشرده و داشته باشيم: . همچنين زيرمجموعه ای از باشد. را يک نقطه دافع مي گويند اگر همسايگیاز موجود باشد به طوري که فشرده بوده، همچنين زير مجموعه اي از باشد و داشته باشيم: . تعريف8-2-1: تابع را روي مجموعه(زير مجموعه اي از است که فضاي متريک با متراست). ثابت دافع مي گويند، اگر موجود باشد که براي هر داشته باشيم: تعريف 9-2-1: فرض مي کنيم فضاي متريک تام و يک سيستم ديناميکي باشد، را زيرمجموعه اي ازدر نظر مي گيريم. اگر بسته و پايا باشد،را لياپانوف پايدار مي ناميم اگر براي هر همسايگي از ، همسايگي ماننداز وجود داشته باشد به طوري که براي هر و هر داشته باشيم: . اين شرط را شرط لياپانوف مي گوييم. اگر يک مجموعه پايا باشد، پايدار است اگر 1) براي هر همسايگي به اندازه کافي کوچک که يک همسايگی وجود باشد به طوري که به ازاي هروهر داشته باشيم:. 2) يک همسايگي موجود باشد به طوري که براي هر ، زماني که داشته باشيم :. با مفروضات تعريف بالا، را مجانبا پايدار مي ناميم، اگر همسايگي از وجود داشته باشد به طوري که براي هر داشته باشيم: . اين شرط را شرط پاياي مجانبي مي ناميم. [1] - Alexandr Lyapunov دریافت فایل جهت کپی مطلب از ctrl+A استفاده نمایید نماید |