آناليز رياضي 2 - دانلود رایگان
دانلود رایگان تعداد اسلاید : 282 آناليز رياضي 2 انتگرال هاي ريمان ــ استيلتيس فصل اول جايگاه درس : آناليز
دانلود رایگان
| آناليز رياضي 2فرمت فایل: پاورپوینت - powerpoint, ( -- قابل ویرایش ) آناليز رياضي 2 انتگرال هاي ريمان ــ استيلتيس فصل اول جايگاه درس : آناليز رياضي 2 درس اصلي تخصصي والزامي رشته رياضي ميباشد. اين درس در دوره كارشناسي ارشد آمار نيز تدريس ميشود. اين درس پيش نياز آناليز رياضي 3و پيش نياز آن اناليز رياضي 1 است. هدف هاي كلي در اين درس انتگرالهاي ريمان استيلتيس به عنوان تعميم انتگرال ريمان ارايه ميشود. انتگرالهاي ناسره و توابع با تغيير كراندار از ديگر موضوعات اين درس مي باشد. دنباله ها وسري هاي توابع وبررسي خواص آنها وسپس مطالعه سري هاي فوريه وسري هاي تواني وتوابع خاص مانند تابع گاما از ديگر موضوعات مورد مطالعه اين درس مي باشد. هدف هاي رفتاري پس از مطالعه اين فصل بايد بتوانيد 1 . يك افراز براي بازه را تعريف نماييد 2. مجموع هاي بالايي و پاييني يك تابع روي را تعريف نماييد 3. انتگرالهاي بالايي و پاييني براي يك تابع را روي يك بازه تعريف نماييد 4. انتگرال ريمان استيليتيس يك تابع روي يك بازه را تعريف نماييد . ادامه هدف هاي رفتاري 6.خواص انتگرال ريمان استيليتيس را بيان و اثبات نماييد. 7. رابطه انتگرال پذيري ريمان ايتيليتيس را با مشتق پذيري بيان كنيد . 8. قضاياي اساسي براي انتگرال ريمان استيليتيس را بيان كنيد . 9.انتگرال گيري به روش جز به جز را انجام دهيد. 5. شرط ريمان را براي يك تابع روي يك بازه تعريف نماييد. تعريف : اگر افرازي از باشد نماد را چنين تعريف مي كنيم : مثلاً در بازه ، مجموعه هاي تشكيل افراز مي دهند در داريم : . در نتيجه . در داريم : . در نتيجه ، بالاخره در داريم : حال به تعبير هندسي اين موارد مي پردازيم : تعريف : هر گاه دو افراز براي بازه باشد را ظريف تر از گوييم هرگاه الف) يعني با ظريف تر شدن افراز حاصل جمع هاي بالايي افزايش نمي يابند و حاصل جمع هاي پاييني كاهش نمي يابند. به عبارتي ديگر حاصل جمع هاي بالايي از بالا كراندارند و حاصل جمع هاي پاييني از پايين كراندارند. ب) هر حاصل جمع پاييني از هر حاصل جمع بالايي نابيشتر است به عبارت ديگر هر حاصل جمع بالايي يك كران براي مجموعة حاصل جمع هاي پاييني و هر حاصل جمع پاييني يك كران پايين براي مجموعة حاصل جمع هاي بالايي است. نتيجه : اگر آنگاه براي هر افراز از تعريف : اگر بر كراندار و بر صعودي باشد آن گاه انتگرال هاي بالا و پايين را به ترتيب چنين تعريف مي كنيم . را نسبت به انتگرال پذير مي ناميم در صورتي كه دو انتگرال فوق با هم برابر باشند و در ايـن صورت مي نويسيم و مقدار انتگرال را با نماد نشان مي دهيم . طبق قرارداد و مي گيريم. مثال : تابع بر با ضابطه زير تعريف شده است : حل . اگر افرازي دلخواه از باشد. مي دانيم كه در هر بازه اعداد گويا و اصم وجود دارد. از اين رو و بنابراين ، در نتيجه ، و به طريق مشابه در نتيجه، . پس مثال : تابع و بر فاصله چنين تعريف شده است : حل. چون در هر بازة نقاط گويا و اصم وجود دارد. از اين رو ، به ازاي هر افراز از . از اين رو كه در آن از اين رو ، مثال : تابع بر بازة به صورت تعريف شده است. به كمك تعريف نشان دهيد اين تابع به مفهوم ريمان انتگرال پذيز است. انتگرال آن را بيابيد. حل. فرض كنيد ، در اين صورت در نتيجه ، مثال : تابع بر با ضابطه زير تعريف شده است. آيا ؟ چرا؟ حل. اگر بگيريم، داريم : به طريق مشابه اگر بگيريم، خواهيم داشت : بنابراين مثال : تابع بر تعريف شده است. انتگرال را بيابيد (به مفهوم ريمان) حل. همانند (ج) به ازاي افراز داريم : در نتيجه ، از اين رو ، قضيه (شرط ريمان). شرط لازم و كافي براي آن كه آن است كه لم . اگر تابع بر بازة كراندار باشد، آنگاه قضيه . اگر تابع بر بازة پيوسته و بر صعودي باشد ، آن گاه . قضيه . احكام زير معادلند : ج ) قضيه : اگر بر صعودي و بر صعودي و پيوسته باشد، آن گاه قضيه : اگر توابع و در نقطه از بازة از راست ناپيوسته باشند ، آن گاه قضيه : فرض كنيد تابع كراندار به غير از تعداد متناهي نقطه از نقاط داخلي بازة پيوسته و تابع در نقاط ناپيوستگي پيوسته باشد در اين صورت مثال : تابع با ضابطة زير تعريف شده است . حل. فرض كنيد عدد طبيعي را طوري انتخاب مي كنيم كه كه در آن عدد طبيعي دلخواه است. اگر ، آن گاه مجموعه هاي را به صورت زير تعريف مي كنيم : اگر ، آن گاه اعداد گوياي بازة داراي مخرج بزرگتر يا مساوي است . از اين رو ، واضح است كه همواره همچنين كه در آن تعداد اعضاي است ، و . در نتيجه ، محك لبگ در مورد انتگرال پذيري ريمان بـديهي است كـه هـر مـجموعه يكـاني بـا مجموعه اي بـا انـدازه صـفر است زيـرا . از اين رو مجموعه هاي متناهي با اندازة صفر است. ذيلاً ثابت مي كنيم هر مجموعة شمارش پذير با اندازة صفر است. قضيه. اگر شمارش پذير باشد ، آن گاه با اندازة صفر است . همانند قضية فوق مي توان نشان داد كه اگر با اندازه صفر باشد، آن گاه نيز با اندازه صفر است . تعريف : فرض كنيد بر بازة كراندار باشد. اگر عدد قضيه . تابع بر بازة تعريف شده است اين تابع در نقطة پيوسته است اگر و فقط اگر . برهان. فرض كنيد تابع در پيوسته است در نتيجه ، قضيه . فرض كنيد تابع بر بازة كراندار است و به ازاي هر ، همواره . آن گاه ي (وابسته به ) وجود دارد به طوري كه به ازاي هر زير بازة اگر ، آن گاه . (منظور از طول بازة است) . برهان. بنا به خاصيت اينفيمم ، ي وجود دارد به طوري كه قضيه : فرض كنيد تابع بر بازة كراندار است . به ازاي هر مجموعة به صورت زير تعريف مي شود برهان. فرض كنيد . اگر ، آن گاه ، از اين رو ي وجود دارد به طوري كه قضيه (محك لبگ براي انتگرال پذيري ريمان) . فرض كنيد تابع بر بازة كراندار و مجموعة نقاط ناپيوستگي بر باشد. بر اگر و فقط اگر با اندازة صفر باشد انتگرال ريمان استيلتيس داراي خواص زيادي است كه ذيلاً اهم آن خواص را مي آوريم. الف) اگر و ، آن گاه و اگر ، آن گاه ج) اگر و ، آن گاه . قضيه : اگر بر ، آن گاه بر و و قضيه . فرض كنيد بر و تابع بر پيوسته است . آن گاه تابع بر نسبت به داراي انتگرال است. نتيجه . اگر ، آن گاه برهان. فرض كنيد پس . عددي حقيقي مانند وجود دارد به طوري كه .در اين صورت ، با فرض و 3.4.1 نتيجه مي شود كه پس قضيه : فرض كنيد موجود است و . آنگاه . اگر و فقط اگر قضيه ( اول مقدار ميانگين ) . اگر بر پيوسته باشد ، آن گاه نقطه اي مانند بر وجود دارد به طوري كه برهان. فرض كنيد اگر ، آن گاه حكم بديهي است ، در غير اين صورت بنا به پيوستگي ، نتيجه مي شود عضوي مانند در بازة وجود دارد به طوري كه قضيه . فرض كنيد ، آن گاه عددي مانند وجود دارد به طوري كه و كه در آن و به ترتيب سوپريمم و اينفيمم تابع در بازة است . (قضية مشتق گيري). فرض كنيد و ب) اگر در پيوسته و در مشتق پذير باشد ، آن گاه در مشتق پذير است و نتيجه : اگر و در نقطة پيوسته باشد و اگر و تابعي مانند باشد به طوري كه ، آن گاه قضيه. فرض كنيد و بر مشتق پذير ، آن گاه قضيه (صورت ديگر انتگرال گيري به روش جزء به جزء). اگر و هر دو صعودي باشند و ، آن گاه و قضيه (دوم مقدار ميانگين) . اگر صعودي و علاوه بر صعودي بودن پيوسته هم باشد آن گاه نقطه اي مانند در بازة وجود دارد به طوري كه نتيجه . اگر صعودي و پيوسته و نامنفي باشد ، آن گاه نقطه اي مانند در بازة وجود دارد به طوري كه نتيجه . اگر در تابع نامنفي هم باشد آن گاه نقطه اي مانند در بازة وجود دارد به طوري كه قضيه. فرض كنيد و در پيوسته باشد و . آن گاه بر و . قضيه. فرض كنيد و همگرا باشند، دنباله اي از اعضاي متمايز باشد و . اگر بر پيوسته باشد آن گاه و قضيه. اگر دنباله اي متناهي از اعضاي باشد، آن گاه را مي توان به صورت يك انتگرال ريمان ـ استيلتيس نوشت . برهان. تعريف مي كنيم: مثال :فرض كنيد دنبالة اعداد گوياي باشد و . اگر بر پيوسته باشد . را بيايد . مثال : اگر نشان دهيد : مثال : اگر بر پيوسته و مثبت باشد و نشان دهيد مثال : ( نامساوي هلدر ) فرض كنيد و اعداد حقيقي مثبتي باشند به طوري كه ابتدا نشان دهيد كه اگر نامنفي باشند آن گاه مثال : الف) ابتدا نشان دهيد كه اگر ، و بر نسبت به انتگرال پذير باشد ، آن گاه تغيير متغير تغيير متغييردر انتگرال ها بـه ويـژه در انتگرال هـاي ريـمان ابـزاري تـوانا بـراي محاسبه انتگرال ها است . از ان رو قضيه و نتيجة زير را مي آوريم : قضيه. فرض كنيد و تابع بر به روي پيوسته و اكيداً صعودي است اگر و بر تعريف شوند آن گاه بر و . مشتق گيري از انتگرال قبلاً قضية اساسي حسابان را ثابت كرديم و نشان داديم كه اگر تابع در نقطة پيوسته باشد و آن گاه موجود است و . كنون اين سؤال پيش مي آيد كه اگر تابعي از دو متغير باشد و يا به جاي و يا حتي توابعي از قرار گيرد چگونه مي توان مشتق گرفت . قضيه. فرض كنيد وتابع بر تعريف شده و (مشتق نسبت به ) بر پيوسته است . تابع بر چنين تعريف شده است . نتيجه. اگر بر آن گاه قضيه. فرض كنيد و تابع و بر پيوسته است. فرض كنيد دو تابع مشتق پذير بر باشند به طوري كه به ازاي هر از داريم : . در اين صورت موجود است و فصل دوم پس از مطالعه اين فصل بايد بتوانيد 1.انتگرالهاي ناسره را تعريف نماييد. 2 . انواع انتگرالهاي ناسره را تعريف و براي آنها مثال بياوريد. 3. همگرايي انتگرال ناسره را تعريف نماييد. 4. شرط لازم و كافي براي وجود انتگرال ناسره را بيان كنيد. 5. آزمون انتگرال براي همگرايي سري هاي نا منفي را بيان كنيد . اگر مسلماً با تكيه بر خواص انتگرال ريمان رابطة فوق نمي تواند برقرار باشد . يعني طرف راست منفي است در حالي كه طرف چپ انتگرال ، يك تابع نامنفي است . انتگرال هاي ناسره نوع اول موجود يا همگراست و در واقع داريم : مثال . اگر و ، آن گاه مثال : نتيجه : اگر موجود باشند ، آن گاه نيز موجود و برابر مجموع (تفاضل) دو انتگرال قبلي است . قضيه. فرض كنيد به ازاي هر عدد حقيقي تابع بر بازة انتگرال پذير است . شرط لازم و كافي براي آن كه موجود باشد آن است كه نتيجه. اگر يك تابع نا منفي باشد به طوري كه همواره و موجود باشد، آن گاه موجود است . قضيه. اگر نزولي باشد، آن گاه همگراست اگر و فقط اگر همگرا باشد. (اين قضيه به آزمون انتگرال در مورد سري هاي نامنفي مشهور است ) فصل چهار در مثالهاي گذشته ومثالهاي ديگر كتاب كه مجال پرداختن به آنها نيست مي بينيم كه همگرايي نقطه وار خواص مهمي مانند پيوستگي- مشتق پذيري -انتگرال پذيري و حتي كرانداري را به حد دنباله منتقل نمي كند. دنبال شرايطي هستيم كه بتواند چنين خواصي را منتقل نمايد. دنباله با ظابطه بر مفروض است واضح است كه چه تفاوتي بين دو تعريف همگرايي نقطه وار و يكنواخت وجود دارد؟ ملاحظه مي كنيم كه يك تفاوت اساسي در تعريف بوجود آمد . در اثر اين تفاوت انتظار داريم كه: اگر تمام جملات پيوسته باشند حد نيز پيوسته باشد. اگر تمام جملات مشتق پذير باشند حد نيز چنين باشد. توجه: در حالتيكه تمام ها و در نتيجه حقيقي باشنداز تعريف همگرايي يكنواخت چنين نتيجه مي شود كه يعني از مر تبه اي به بعد نمودار تمام ها بين دو نمودار و واقع مي شوند. به نمودار اسلايد بعد توجه كنيد: قضيه: شرط لازم وكافي براي آنكه بر آن است كه از آناليز رياضي يك به ياد داريم كه شرط كوشي براي دنباله ها معادل با همگرايي بود. در مورد دنباله توابع نيز شرطي مشابه آن به نام شرط همگرايي يكنواخت كوشي وجود دارد كه معادل با همگرايي يكنواخت است. قضيه( شرط همگرايي يكنواخت كوشي ) شرط لازم وكافي براي آنكه بر به طور يكنواخت همگرا باشد آن است كه همپيوستگي قضيه :فرض كنيد دنباله بر مجموعه شمارش پذير به طور نقطه وار كراندار باشد آنگاه زير دنباله اي ما نند وجود دارد كه بر همگراست تعريف :فرض كنيد يك فضاي متريك فشرده باشد را مجموعه توابع مختلط پيوسته بر ميگيريم با تعريف جمع نقطه وار وضرب اسكالر به يك فضاي برداري تبديل مي شود. در اين فضاي برداري نرمي به صورت زير تعريف مي كنيم تعريف فرض كنيد خانواده اي از توابع مختلط بر مجموعه در فضاي متريك باشد.گوييم همپيوسته است در صورتي كه: در قضيه زير نشان مي دهيم كه همگرايي يكنواخت يك دنباله از توابع در يك فضاي فشرده باعث همپيوستگي دنباله مي شود فصل سوم پس از مطالعه اين فصل بايد بتوانيد: 1. يك تابع با تغيير كراندار بر يك بازه را تعريف نماييد 2. براي توابع با تغيير كراندار بر يك بازه مثال بزنيد . 3. مثالي از يك تابع كه كراندار است ولي با تغيير كراندار نيست ارايه دهيد 4. تابع تغيير كلي را تعريف نماييد . 5. ثابت كنيد هر تابع با تغيير كراندار به صورت تفاضل دو تابع صعودي است 6. يك خم طول پذير را تعريف و براي آن مثال بزنيد تعاريف وخواص كلي: توابع با تغيير كراندار چه نوع توابعي هستند؟ و چه ويژگي هايي دارند؟ اولين ويژگي را در قضيه زير مي بينيم: اثبات: با انتخاب افراز بنا به تعريف با تغيير كرانداري عددي حقيقي مانند وجود دارد كه آيا عكس اين مطلب نيز صحيح است؟ جواب اين سوال را در مثال زير مي بينيم : براي اينكه نشان دهيم اين تابع با تغيير كراندار نيست بايد ثابت كنيم: كه در آن در نتيجه داريم: تابع بر به صورت زير تعريف شده است با توجه به نوسانات اين تابع در همسايگي صفر حدس مي زنيم كه اين تابع بر با تغيير كراندار نيست. اگر ،آن گاه ، يعني ، و اگر ، آن گاه . از اين رو . حال اگر عدد حقيقي دلخواهي باشد افراز را به صورت زير در نظر مي گيريم: با توجه به اينكه طرف راست وقتي كه به بي نهايت ميل مي كند لذا عددي طبيعي مانند وجود دارد كه به ازاي آن طرف راست از بيشتر است پس با تغيير كراندار نيست در حالي كه كراندار است. قضيه. اگر تابع بر بازه يكنوا باشد آنگاه بر اين بازه با تغيير كراندار است . قضيه. اگر تابع بر بازه صعودي (نزولي) باشد، آن گاه بر اين بازه با تغيير كراندار است. برهان. فرض كنيد صعودي و افرازي دلخواه از باشد. در اين صورت قضيه. اگر تابع بر بازه داراي مشتق كراندار باشد، آن گاه با تغيير كراندار است. برهان. اگر افرازي دلخواه از باشد، آن گاه چون كراندار است پس از اين رو، لهذا، يعني حكم برقرار است. تعريف. فرض كنيد تابع بر با تغيير كراندار باشد. تغييرات كلي تابع بر با ضابطه زير تعريف مي شود: كه در آن مجموعه افرازهاي است. قضيه. فرض كنيد توابع و بر بازه با تغيير كراندار است، آن گاه، الف) به ازاي اعداد ثابت و تابع بر با تغيير كراندار است و ب) تابع بر با تغيير كراندار است و ج) اگر تابع از صفر دور شود يعني ي باشد كه به ازاي هر ، ، آن گاه برهان. الف) اگر افزار دلخواهي از باشد، آنگاه در نتيجه، ب) بالنتيجه، يعني تابع با تغيير كراندار است و تعريف. تابع را به چنين تعريف مي كنيم: ذيلاًنشان مي دهيم كه هر تابع با تغيير كراندار را مي توان به صورت دو تابع صعودي و يا تفاضل دو تابع نزولي نوشت. براي اين منظور نشان مي دهيم كه توابع و بر صعودي هستند. الف) ج)با توجه به (ب)داريم: يعني تفاضل دو تابع صعودي است. همچنين، با توجه به رابطه نتيجه مي شود كه تفاضل دو تابع نزولي است و برهان تمام است. بايد توجه داشت كه نمايش فوق منحصر به فرد نيست. زيرا، مثلاً، اگر يك تابع صعودي دلخواهي باشد،آن گاه نمايش ديگري براي تابع با تغيير كراندار به صورت تفاضل دو تابع صعودي است قضيه. مجموعه نقاط نا پيوستگي و در يكسان است. به عبارت ديگر،اگر در نقطه پيوسته باشد، آن گاه نيز چنين است و بعكس. برهان. فرض كنيد تابع در نقطه پيوسته است. پس فصل چهار پس از مطالعه اين فصل بايد بتوانيد : 1. دنباله وسري تابعي را تعريف و براي آنها مثال بزنيد. 2. همگرايي نقطه وار يك دنباله از توابع را تعريف كنيد. 3. همگرايي يكنواخت يك دنباله از توابع را تعريف كنيد و فرق آن با همگرايي نقطه وار را بيان كنيد . 4. شرط كوشي براي همگرايي يكنواخت يك دنباله تابعي را بيان واثبات كنيد. 5. رابطه همگرايي يكنواخت و پيوستگي را بيان و اثبات كنيد . 6. رابطه همگرايي يكنواخت و انتگرال پذيري را بيان و اثبات كنيد . 7. رابطه همگرايي يكنواخت و مشتق را بيان و اثبات كنيد 8. مفاهيم مربوط به دنباله تابعي را به سري تابعي تعميم دهيد . 9. قضيه تقريب وايراشتراس را بيان و اثبات كنبد. 10. كرانداري نقطه وار يك دنباله بر يك مجموعه را بيان كنيد 11. همپيوستگي خانواده اي از توابع راتعريف كنيد. 12. رابطه بين همپيوستگي و فشردگي را بيان واثبات كنيد 13. قضيه استون وايراشتراس را بيان و اثبات كنيد . تعريف: فرض كنيد يك فضاي متريك باشدو و دنباله اي از توابع (حقيقي ويامختلط)برEباشد.فرض كنيد به ازاي هر دنباله عددي همگرا باشد.دراين صورت مي توانيم تابع راباضابطه تعريف كنيم. دراين صورت گوييم دنباله به طور نقطه وار به تابع همگراست. ملاحظه مي كنيم كه هرجمله پيوسته ويا حتي مشتق پذيراست درحالي كه چنين نيست.نمودار تعدادي از جملات دنباله فوق را ملاحظه مي كنيم در مثالهاي گذشته ومثالهاي ديگر كتاب كه مجال پرداختن به آنها نيست مي بينيم كه همگرايي نقطه وار خواص مهمي مانند پيوستگي ـ مشتق پذيري ـ انتگرال پذيري و حتي كرانداري را به حد دنباله منتقل نمي كند . دنبال شرايطي هستيم كه بتواند چنين خواصي را منتقل نمايد . دنباله با ضابطه بر بازه تعريف شده است. با توجه به مثال (الف) داريم : ملاحظه ميكنيم كه هر بر كراندار است در واقع در حالي كه بر كراندار نيست. دنباله با ظابطه بر مفروض است واضح است كه چه تفاوتي بين دو تعريف همگرايي نقطه وار و يكنواخت وجود دارد؟ ملاحظه مي كنيم كه يك تفاوت اساسي در تعريف بوجود آمد . در اثر اين تفاوت انتظار داريم كه: اگر تمام جملات پيوسته باشند حد نيز پيوسته باشد. اگر تمام جملات مشتق پذير باشند حد نيز چنين باشد. توجه: در حالتيكه تمام ها و در نتيجه حقيقي باشنداز تعريف همگرايي يكنواخت چنين نتيجه مي شود كه يعني از مر تبه اي به بعد نمودار تمام ها بين دو نمودار و واقع مي شوند. به نمودار اسلايد بعد توجه كنيد: قضيه: شرط لازم وكافي براي آنكه بر آن است كه از آناليز رياضي يك به ياد داريم كه شرط كوشي براي دنباله ها معادل با همگرايي بود. در مورد دنباله توابع نيز شرطي مشابه آن به نام شرط همگرايي يكنواخت كوشي وجود دارد كه معادل با همگرايي يكنواخت است. قضيه( شرط همگرايي يكنواخت كوشي ) شرط لازم وكافي براي آنكه بر به طور يكنواخت همگرا باشد آن است كه همپيوستگي قضيه :فرض كنيد دنباله بر مجموعه شمارش پذير به طور نقطه وار كراندار باشد آنگاه زير دنباله اي ما نند وجود دارد كه بر همگراست تعريف :فرض كنيد يك فضاي متريك فشرده باشد را مجموعه توابع مختلط پيوسته بر ميگيريم با تعريف جمع نقطه وار وضرب اسكالر به يك فضاي برداري تبديل مي شود. در اين فضاي برداري نرمي به صورت زير تعريف مي كنيم تعريف فرض كنيد خانواده اي از توابع مختلط بر مجموعه در فضاي متريك باشد.گوييم همپيوسته است در صورتي كه: فصل پنجم پس از مطالعه اين فصل با يد بتوانيد 1. يك سري تواني را تعريف كنيد . 2. شعاع همگرايي يك سري تواني را تعريف و روابط مربوط به آن را بيان كنيد . 3. شعاع همگرايي يك سري تواني را بيان كنيد 4. تابع نمايي را تعريف و خواص آنرا بيان كنيد. 5. توابع مثلثاتي را بر حسب سري تواني تعريف و خواص آن را اثبات نماييد تعريف: يك سري تواني(سري تواني حقيقي) به شكل (1) يا به طوركلي به صورت (2) تعريف مي شودكه درآن aيك عددحقيقي x يك متغيرحقيقي و ها اعداد حقيقي هستند . اگرعددي مثبت مانند موجود باشد به طوري كه به ازاي هرعدد حقيقي دربازه سري(1) همگرا باشد در اين صورت مي نويسيم : وگوييم به وسيله سري تواني(1)حول نقطه صفربسط داده شده است .در حالت (2)گوييم تابع به صورت حول نقطه بسط داده شده است . تعريف: عددحقيقي را شعاع همگرايي سري تواني (1) ويا (2) مي ناميم . بايد توجه داشت كه مي تواند باشد. در حالتي كه در اين صورت سري (1) فقط در صفر و سري (2) فقط در همگراست قضيه.فرض كنيد يك سري تواني باشد و (3) الف)اگر آن گاه به طور مطلق همگراست ب)اگر آنگاه واگراست ج)اگر آنگاه بربازه به طور يكنواخت همگرا است. اگر آن گاه (5) به وي‍‍‍‍‍ژه(6) كه درآن منظوراز مشتقk امf ومنظوراز همانf است الف)شعاع همگرايي سري را بيابيد. حل.چون همواره پس ب)شعاع همگرايي سري رابيابيد. حل.ميدانيم كه پس قضيه(آبل). فرض كنيد همگرا باشد. اگر (1) آن گاه (2) قضيه. فرض كنيد درنقطه دربازه داراي مشتقات تامرتبه باشد آنگاه تابعي مانند بر موجوداست به طوري كه و (1) قضيه. فرض كنيد همگرا باشد.آن گاه (1) قضيه .فرض كنيد سري هاي و بر همگرا باشد و اگر در داراي حداقل يك نقطه اجتماع باشد آن گاه تعريف. تابع نماي رابرصفحه مختلط را باضابطه تعريف مي كنيم باتوجه به اينكه شعاع همگرايي اين سري را برابر است پس بر تمام صفحه مختلط تعريف شده است در آناليز 1 نشان داديم كه عددي است اصم. در واقع نه تنها اصم است بلكه غيرجبري هم است يعني ريشه هيچ معادله اي با ضرايب گويا نيست. تعريف. تابع راكه به صورت زيرتعريف مي شود تابع لگاريتم مي ناميم. تعريف فوق نشان ميدهدكه بر منفي و بر مثبت است و . قضيه. اگر ،آن گاه كه درآن عدد مثبت دلخواه وناصفر است. برهان. بنابه رابطه(13)، قضيه 2.2.5 و قضيه مشتق تركيب توابع داريم : اگر يك عدد مثبت دلخواه باشد به طوري كه ،در بازه داريم: لهذا ، چون سري همگراست پس سري 2 بر بازه به طور يكنواخت همگراست و در نتيجه از سري فوق مي توان جمله به جمله انتگرال گرفت، يعني تعريف. توابع و را به ترتيب توابع سينوس و كسينوس مي ناميم و چنين تعريف مي كنيم: (1) درواقع، نشان مي دهيم كه توابع و همان توابع سينوس و كسينوس عادي هستند. از رابطه (1) داريم از جمع دو رابطه اخير خواهيم داشت قضيه. عددي حقيقي و مثبت مانند وجود دارد به طوري كه تعريف. عدد را مساوي تعريف مي كنيم . در مثلثات مقدماتي با اين عدد آشنا شده ايد. عدد نه تنها اصم است بلكه متعالي هم است. اصم بودن را ضمن مثالها ثابت كرده ايم ولي اثبات متعالي بودن از حوصله اين درس خارج است . ثابت كنيد: حل. تابع را تعريف مي كنيم ،داريم: از اين رو، در اين بازه صعودي است و در قضيه زير نشان مي دهيم كه همگرايي يكنواخت يك دنباله از توابع در يك فضاي فشرده باعث همپيوستگي دنباله مي شود سريهاي فوريه قضيه. اگر سري (1)به طور يكنواخت همگرا باشد ، آن گاه تعريف. سري (1) را سري فوريه تابع f و و را ضرايب فوريه تابعf مي ناميم. قضيه . اگر سريه فوريه در بازه به طور يكنواخت به همگرا باشد آن گاه (7) سري فوريه تابع است . قضيه. اگر توابع انتگرال پذير و در پيوسته باشد و ، آن گاه سريهاي فوريه و متفاوت هستند . نتيجه. اگرf پيوسته و سري فوريه f به طوريكنواخت همگرا باشد ، آن گاه مجموع اين سري در هر نقطه f(x) است برهان.اگر سري فوريه f به تابع ديگري مانند g همگرباشد ،در اين صورتبنابه قضيه 4.1.6اين سري ،سري فوريه g نيز است پس قضيه(ريمان-لبگ). فرض كنيدf بربازه انتگرل پذير ريمان است، آن گاه تعريف. به طوري كه قبلا اشاره كرديم چند جمله اي زير را يك چند جمله اي مثلثاتي مي ناميم . كه در آن ها و ها اعدادي مختلط هستند حال اگر و ضريب فوريه در بازه باشد، آن گاه را ميتوان به صورت مناسب تري نوشت تعريف. دنباله با ضابطه زير را هسته ديريكله مي ناميم با توجه به تعريف كسينوس مي توان را محاسبه كرد قضيه. اگر به ازاي مفروض اعداد مثبتي مانند و باشد به طور ي كه به ازاي هر اگر ، آن گاه در اين صورت مي دانيم كه سري واگراست. در واقع، اگر مجموع جمله اول اين سري باشد ، آن گاه اما ميانگين برابر است با در نتيجه ، تعريف. فرض كنيد و در اين صورت گوييم ، ميانگين است و اگر گوييم ، جمع پذير به است تعريف. فرض كنيد دنباله مجموع nجمله اول يك سري فوريه باشد. در اين صورت دنباله را چنين تعريف مي كنيم : توجه كنيد كه در اين حالت جمله اول صفر است تعريف. فرض كنيد دنباله اي از توابع مختلط انتگرال پذير بر بازه باشد به طوري كه در اين صورت يك دستگاه يكا متعامد مي ناميم الف) خانواده يك خانواده يكا متعامد در بازه است. ب) به عنوان مثال ديگر ، خانواده توابع لژاندر را در نظر مي گيريم كه در آن يك خانواده يكا متعامد بر بازه است . ج)مثال ديگر خانواده توابع رادماخر است. اين خانواده به صورت تعريف مي شود ، كه در آن تابع علامت را قبلا تعريف كرديم كه به صورت زيراست مي توان نشان داد كه اين خانواده يك خانواده يكا متعامد بر بازه است. بايـد توجه داشت كـه در حالتي كه z يك عدد مختلط باشد ، در اين صورت تعريف مي شود تعريف.فرض كنيد تابع بر بازه انتگرال پذير و دنباله اي از توابع يكا متعامد بر باشد . اگر را به صورت زير تعريف كنيم: در اين صورت را ضريب فوريه تابع نسبت به بر بازه مي ناميم. در اين صورت مي نويسيم : تعريف. اگر خانواده يكا متعامد بر باشد در اين صورت را يك چند جمله اي مي ناميم قضيه. اگر تابع پيوسته و متناوب با دوره تناوب باشد، آن گاه به ازاي هر يك چند جمله اي مثلثاتي مانند وجود دارد به طوري كه به ازاي هر قضيهٌ پارسوال. فرض كنيد و دو تابع انتگرال پذير ريمان و متناوب با دورهٌ تناوب باشد، و آنگاه (الف (ب (ج فضيه. به ازاي هر عدد حقيقي داريم: قضيه. شرط لازم و كافي براي آنكه آن است كه قضيه. همگرايي انتگرال زير وقتي كه فقط بستگي به مقدار در همسايگي دلخواه دارد قضيه. شرط لازم و كافي براير آنكه آن است كه ي مثبت موجود باشد به طوري كه كه در آن فصل هفتم با تعريف ساده فاكتوريل به صورت زير آشنا هستيم تابع گاما كه تعميمي از اين تابع در نظر گرفته مي شود به صورت زير تعريف مي شود: قضيه نتيجه. اگر و يك عدد طبيعي باشد،آن گاه (الف) نتيجه. و با جايگزيني داريم: (ب) قضيه. محدب است پرداخت آنلاین و دانلود در قسمت پایین دریافت فایل جهت کپی مطلب از ctrl+A استفاده نمایید نماید |